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梯度校验

欢迎来到本周的期末作业！在这个作业中，你将学习如何实现和使用梯度校验。

您是一个致力于在全球范围内提供移动支付的团队的成员，并被要求建立一个深度学习模型来检测欺诈行为——判断用户账户在进行付款的时候是否是被黑客入侵的。

但是反向传播很难实现，有时会有缺陷。因为这是一个任务关键型应用程序，所以您公司的首席执行官希望真正确定您的反向传播实现是正确的。你的首席执行官说，“给我一个证据，证明你的反向传播确实有效！”为了保证这一点，您将使用“梯度校验”。

开始吧！

# Packagesimport numpy as npfrom testCases import *from gc_utils import sigmoid, relu, dictionary_to_vector, vector_to_dictionary, gradients_to_vector

 

1)梯度校验是如何工作的？

 

2)1维的梯度校验

考虑一个1D线性函数 J(θ)=θx。该模型只包含一个实值参数θ，并以x作为输入。

您将实现代码来计算 J(.) 及其衍生物 ∂J/∂θ。然后，您将使用梯度校验来确保您对J的导数计算是正确的。

上图显示了关键的计算步骤:首先从x开始，然后计算函数 J(x)(“正向传播”)。然后计算导数 ∂J/∂θ(“反向传播”)。

练习:为这个简单的函数实现“正向传播”和“反向传播”。即计算两者J(.)(“前向传播”)及其相对于θ的导数(“后向传播”)，分为两个独立的函数。

# GRADED FUNCTION: forward_propagationdef forward_propagation(x, theta):    """    实现图中呈现的线性前向传播（计算J）（J（theta）= theta * x）    参数：    x  - 一个实值输入    theta  - 参数，也是一个实数    返回：    J  - 函数J的值，用公式J（theta）= theta * x计算    """        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    J = np.dot(theta,x)    ### END CODE HERE ###        return J

测试：

x, theta = 2, 4J = forward_propagation(x, theta)print ("J = " + str(J))

结果：

J = 8

 

练习:现在，实现图1的反向传播步骤(导数计算)。也就是说，计算 J(θ)=θx 相对于θ的导数。为了避免你做微积分，你应该找dtheta=∂J/∂θ=x。

# GRADED FUNCTION: backward_propagationdef backward_propagation(x, theta):    """    计算J相对于θ的导数。    参数：        x  - 一个实值输入        theta  - 参数，也是一个实数    返回：        dtheta  - 相对于θ的成本梯度    """        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    dtheta = x    ### END CODE HERE ###        return dtheta

测试：

x, theta = 2, 4dtheta = backward_propagation(x, theta)print ("dtheta = " + str(dtheta))

结果：

dtheta = 2

 

练习:为了显示 backward_propagation() 函数正在正确计算梯度 ∂J/∂θ，让我们实现梯度检查。

说明:

• 首先使用上面的公式(1)和一个小的ε值计算“梯度近似值”。以下是要遵循的步骤:

       

• 然后使用反向传播计算梯度，并将结果存储在变量“grad”中
• 最后，使用以下公式计算“梯度近似值”和“梯度”之间的相对误差:

    

计算该公式需要3个步骤:

• 1’. 使用 np.linalg.norm 计算分子(...)
• 2’. 计算分母。你需要call给np.linalg.norm(...)两次。
• 3’. 分开他们。

如果这种差异很小(比如小于10的-7次方)，您可以确信您已经正确计算了梯度。否则，梯度计算可能会出错。

# GRADED FUNCTION: gradient_checkdef gradient_check(x, theta, epsilon = 1e-7):    """    实现图中的反向传播。    参数：        x  - 一个实值输入        theta  - 参数，也是一个实数        epsilon  - 使用公式（3）计算输入的微小偏移以计算近似梯度    返回：        近似梯度和后向传播梯度之间的差异    """        # 使用公式（1）的左侧计算gradapprox. epsilon is small enough, you don't need to worry about the limit.    ### START CODE HERE ### (approx. 5 lines)    thetaplus = theta + epsilon                               # Step 1    thetaminus = theta - epsilon                              # Step 2    J_plus = forward_propagation(x, thetaplus)                # Step 3    J_minus = forward_propagation(x, thetaminus)              # Step 4    gradapprox = (J_plus - J_minus) / (2 * epsilon)           # Step 5    ### END CODE HERE ###        # Check if gradapprox is close enough to the output of backward_propagation()    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    grad = backward_propagation(x, theta)    ### END CODE HERE ###        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)                      # Step 1'    denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)    # Step 2'    difference = numerator/denominator                                 # Step 3'    ### END CODE HERE ###        if difference < 1e-7:        print ("The gradient is correct!")    else:        print ("The gradient is wrong!")        return difference

测试：

x, theta = 2, 4difference = gradient_check(x, theta)print("difference = " + str(difference))

结果：

The gradient is correct!difference = 2.919335883291695e-10

恭喜，差值小于10的-7次方阈值。因此，您可以很有信心正确计算了 backward_propagation() 中的梯度。

现在，在更一般的情况下，你的成本函数J不止有一个1维输入。当你训练一个神经网络时，θ实际上是由多个矩阵组成的，W[l]和偏置 b[l]！了解如何使用高维输入进行梯度校验非常重要。开始吧！

 

3)多维梯度检查

下图描述了欺诈检测模型的正向和反向传播。

                          *LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID*

让我们看看您的正向传播和反向传播的实现。

def forward_propagation_n(X, Y, parameters):    """    实现图中的前向传播（并计算成本）。    参数：        X - 训练集为m个例子        Y -  m个示例的标签        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：            W1  - 权重矩阵，维度为（5,4）            b1  - 偏向量，维度为（5,1）            W2  - 权重矩阵，维度为（3,5）            b2  - 偏向量，维度为（3,1）            W3  - 权重矩阵，维度为（1,3）            b3  - 偏向量，维度为（1,1）    返回：        cost - 成本函数（logistic）    """        # retrieve parameters    m = X.shape[1]    W1 = parameters["W1"]    b1 = parameters["b1"]    W2 = parameters["W2"]    b2 = parameters["b2"]    W3 = parameters["W3"]    b3 = parameters["b3"]    # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID    Z1 = np.dot(W1, X) + b1    A1 = relu(Z1)    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2    A2 = relu(Z2)    Z3 = np.dot(W3, A2) + b3    A3 = sigmoid(Z3)    # Cost    logprobs = np.multiply(-np.log(A3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)    cost = 1./m * np.sum(logprobs)        cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)        return cost, cache

现在，运行反向传播。

def backward_propagation_n(X, Y, cache):    """    实现图中所示的反向传播。    参数：        X - 输入数据点（输入节点数量，1）        Y - 标签        cache - 来自forward_propagation_n（）的cache输出    返回：        gradients - 一个字典，其中包含与每个参数、激活和激活前变量相关的成本梯度。    """        m = X.shape[1]    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache        dZ3 = A3 - Y    dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T)    db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)        dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))#     dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2    #  Should not multiply by 2    dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)    db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)        dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))    dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T)#     db1 = 4./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)    #  Should not multiply by 4    db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)        gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,                 "dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,                 "dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}        return gradients

您在欺诈检测测试集上获得了一些结果，但是您对您的模型没有100%的把握。没有人是完美的！让我们实现梯度检查来验证您的梯度是否正确。

梯度校验是如何工作的？ 如1)和2)中一样

我们还使用 gradients_to_vector() 将 "gradients" 字典转换成向量 "grad" 。你不用担心这个。

练习:实现 gradient_check_n(). 

说明:这里是伪代码，将帮助您实现梯度检查。

# GRADED FUNCTION: gradient_check_ndef gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon = 1e-7):    """    检查backward_propagation_n是否正确计算forward_propagation_n输出的成本梯度    参数：        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：        grad_output_propagation_n的输出包含与参数相关的成本梯度。        x  - 输入数据点，维度为（输入节点数量，1）        y  - 标签        epsilon  - 计算输入的微小偏移以计算近似梯度    返回：        difference - 近似梯度和后向传播梯度之间的差异    """        # Set-up variables    parameters_values, _ = dictionary_to_vector(parameters)    grad = gradients_to_vector(gradients)    num_parameters = parameters_values.shape[0]    J_plus = np.zeros((num_parameters, 1))    J_minus = np.zeros((num_parameters, 1))    gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1))        # 计算 gradapprox    for i in range(num_parameters):                # 计算 J_plus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_plus[i]".        # "_" is used because the function you have to outputs two parameters but we only care about the first one        ### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)        thetaplus = np.copy(parameters_values)                                     # Step 1        thetaplus[i][0] = thetaplus[i][0] + epsilon                                 # Step 2        J_plus[i], _ = forward_propagation_n(X,Y,vector_to_dictionary(thetaplus))                                   # Step 3        ### END CODE HERE ###                # 计算 J_minus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_minus[i]".        ### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)        thetaminus = np.copy(parameters_values)                                    # Step 1        thetaminus[i][0] =thetaminus[i][0] - epsilon                            # Step 2                J_minus[i], _ = forward_propagation_n(X,Y,vector_to_dictionary(thetaminus))                                 # Step 3        ### END CODE HERE ###                # 计算 gradapprox[i]        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)        gradapprox[i] = (J_plus[i] - J_minus[i]) / (2 * epsilon)        ### END CODE HERE ###        # 通过计算差异比较gradapprox和后向传播梯度    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)                                          # Step 1'    denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)                                          # Step 2'    difference = numerator / denominator                                           # Step 3'    ### END CODE HERE ###    if difference > 2e-7:        print ("\033[93m" + "There is a mistake in the backward propagation! difference = " + str(difference) + "\033[0m")    else:        print ("\033[92m" + "Your backward propagation works perfectly fine! difference = " + str(difference) + "\033[0m")        return difference

测试：

X, Y, parameters = gradient_check_n_test_case()cost, cache = forward_propagation_n(X, Y, parameters)gradients = backward_propagation_n(X, Y, cache)difference = gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y)

结果：

Your backward propagation works perfectly fine! difference = 1.1890913023330276e-07

 

我们给你的反向传播代码似乎有错误！很高兴你已经实现了梯度检查。返回反向传播并尝试查找/纠正错误(提示:检查dW2和db1)。当您认为已经修复渐变检查时，请重新运行它。请记住，如果修改代码，您需要重新执行定义反向传播的单元格。 你能通过梯度检查来证明你的导数计算是正确的吗？即使作业的这一部分没有评分，我们强烈建议您尝试找到错误并重新运行梯度检查，直到您确信backprop现在已经正确实现。

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